Ensembles finis Exemples

$P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$

Étape 1

Écrivez $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ comme une équation.

$y = - x^{2} + 90 x - 2000$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - y^{2} + 90 y - 2000$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- y^{2} + 90 y - 2000 = x$ .

$- y^{2} + 90 y - 2000 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 90 y - 2000 - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 90$ et $c = - 2000 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 90 \pm \sqrt{90^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 2000 - x))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $90$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $4$ par $- 2000$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6

Soustrayez $8000$ de $8100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.7

Factorisez $4$ à partir de $100 - 4 x$ .

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Étape 3.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.8

Réécrivez $4 (25 - x)$ comme $2^{2} (5^{2} - x)$ .

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Étape 3.5.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.8.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ .

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $90$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $4$ par $- 2000$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.6

Soustrayez $8000$ de $8100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.7

Factorisez $4$ à partir de $100 - 4 x$ .

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Étape 3.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.8

Réécrivez $4 (25 - x)$ comme $2^{2} (5^{2} - x)$ .

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Étape 3.6.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.8.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.1.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ .

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $90$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $4$ par $- 2000$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.6

Soustrayez $8000$ de $8100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.7

Factorisez $4$ à partir de $100 - 4 x$ .

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Étape 3.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.8

Réécrivez $4 (25 - x)$ comme $2^{2} (5^{2} - x)$ .

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Étape 3.7.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.8.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.1.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ .

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

Étape 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ est l’inverse de $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ et $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 25]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $45 + \sqrt{25 - x}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{25 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$25 - x \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 25$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 25$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 25$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 25}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 25$ par $- 1$ .

$x \leq 25$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 25]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ se trouve sur la plage de $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ et comme la plage de $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ est le domaine de $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ , $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ est l’inverse de $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

$P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$

Étape 6